¡Domina las ecuaciones con números racionales!

¿Te cuesta resolver ecuaciones con fracciones? Hoy aprenderás un método infalible, desde hallar el MCM de los denominadores hasta verificar tus resultados. ¡Vamos allá!

🔍 Paso 1: Entender el Mínimo Común Múltiplo de los Denominadores (MCM)

El MCM es el número más pequeño que pueden dividir todos los denominadores sin dejar residuo.

Cómo calcularlo:

1. Descompón cada denominador en factores primos
   • Ejemplo para los denominadores 4, 6 y 8:
     • 4=2²
     • 6=2×3
     • 8=2³
2. Toma cada factor primo con su mayor exponente
   • Factores: 2³ (de 8) y 3 (de 6)
3. Multiplícalos
   • MCM=2³×3=8×3=24

Truco rápido: (para números pequeños):
Lista los múltiplos hasta encontrar el primero común:

• Múltiplos de 4: {4, 8, 12, 16, 20, 24…}
• Múltiplos de 6: {6, 12, 18, 24…}
• Múltiplos de 8: {8, 16, 24…}
  → MCM = 24

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como fracción:

\[ \frac{a}{b}, \quad \text{donde } a, b \in \mathbb{Z} \text{ y } b \neq 0 \]

Las ecuaciones con números racionales son igualdades que incluyen fracciones o decimales. Resolverlas es como resolver cualquier ecuación, solo que debemos trabajar con fracciones o transformar los decimales a fracciones.

📝 Ejemplo 1: Ecuación simple

Resolver:

\[
\frac{2}{5}x – \frac{1}{3} = \frac{4}{15}
\]

Paso 1: Hallar el MCM de 5, 3 y 15 → 15
Paso 2: Multiplicar todos los términos por

\[
15 \left( \frac{2}{5} x \right) – 15 \left( \frac{1}{3} \right) = 15 \left( \frac{4}{15} \right)
\]

Paso 3: Simplificar:

\[6x−5=4\]

Paso 4: Resolver:

\begin{align*}
6x – 5 &= 4 \quad \text{(el 5 pasa a sumar)}\\
6x &= 4 + 5 \quad \text{(se realiza la suma)}\\
6x &= 9 \quad \text{(el 6 pasa a dividir)}\\
x &= \frac{9}{6} \quad \text{(se simplifica)}\\
x &= \frac{3}{2} \quad \text{(respuesta)}\\
\end{align*}

Verificación:
Sustituye x= \(\frac{3}{2}​\) en la ecuación original para verificar la respuesta.

Vamos a comprobar que la solución x=\(\frac{3}{2}​\) es correcta sustituyéndola en la ecuación original:

\[
\frac{2}{5}x – \frac{1}{3} = \frac{4}{15}
\]

Paso 1: Sustituir x= \frac{3}{2}​ en la ecuación:

\[
\frac{2}{5}\left(\frac{3}{2} \right)- \frac{1}{3} = \frac{4}{15}
\]

Paso 2: Multiplicar las fracciones:

\[
\frac{6}{10}- \frac{1}{3} = \frac{4}{15}
\]

Paso 3: Simplificar \(\frac{6}{10}​\) a su mínima expresión–> \(\frac{3}{5}​\)

\[
\frac{3}{5}- \frac{1}{3} = \frac{4}{15}
\]

Paso 4: Hallar el MCM (denominadores 5 y 3 → MCM = 15) y restar:

\[
\frac{9}{15}- \frac{5}{15} = \frac{4}{15}
\]

Paso 5: Comparar con el lado derecho de la ecuación original:

\[
\frac{4}{15} = \frac{4}{15}​✓
\]

✅ ¡La solución es correcta! Ambos lados son iguales al sustituir x=\(\frac{3}{2}​\)

📝 Ejemplo 2: Ecuación simple

Resolver:

\[
\frac{1}{2}x + \frac{3}{8} = \frac{7}{4}
\]

Solución: \[
\begin{align*}
\frac{1}{2}x + \frac{3}{8} &= \frac{7}{4} \quad \text{(se halla el mcm de los denominadores 2, 8 y 4 –>8)} \\
8 \left( \frac{1}{2}x + \frac{3}{8} \right) &= 8 \left( \frac{7}{4} \right) \quad \text{(Multiplicando por 8 para eliminar denominadores)} \\
4x + 3 &= 14 \\
4x &= 11 \\
x &= \frac{11}{4}
\end{align*}
\]

💡 Consejos clave:

✔ Simplifica siempre las fracciones al final.
✔ Verifica tu solución sustituyendo en la ecuación original.
✔ Si los denominadores son iguales, ¡no necesitas el MCM!

🔍 ¿Sabías que…?
El MCM también se usa para sumar/restar fracciones con distinto denominador.

¡Practica con este ejercicio!

1. \( \frac{1}{3}x + \frac{5}{6} = \frac{7}{2} \)

¿Dudas? ¡Déjalas en los comentarios! 👇

Actividades interactivas

1. Ecuaciones racionales sencillas
2. Ecuaciones racionales
3. Ecuaciones racionales falso o verdadero